OFDM이란?
OFDM (orthogonal frequency division multiplexing)은 하나의 캐리어를 직교(orthogonal)하는 여러 개의 subcarrier로 나눠 이를 중첩하여 전송하는 multiplexing 기법입니다. 기존의 단일 캐리어 전송은 넓은 대역폭으로 인해 multipath fading으로 인한 ISI (inter-symbol interference)를 복구하기 어렵다는 특징을 가지고 있습니다. 이를 위해 캐리어를 여러 개의 subcarrier로 나눠 전송하는 FDM (frequency division multiplexing) 기법이 사용되었고, subcarrier의 대역폭 안에서는 채널이 flat하게 보이므로 채널에 의한 ISI 효과를 제거하기 쉬워졌습니다.
하지만 FDM은 subcarrier간의 간섭을 억제하기 위해 guard band를 설정하여야 했기 때문에 대역폭 효율이 떨어진다는 특징을 가지고 있습니다. 따라서 FDM의 단점을 극복하기 위해 OFDM은 subcarrier로 나눠 전송 시 guard band 없이도 서로 간의 간섭을 일으키지 않도록 직교성(orthogonality)을 이용하는 전송 기법입니다.
Orthogonality Condition
OFDM의 핵심은 subcarrier 간의 직교성입니다. Subcarrier $k$에 해당하는 complex pulse $\phi_k(t)$를 구간 $[0, T_s]$에서 정의하면 다음과 같습니다. (Subcarrier 주파수 $f_k=k\cdot \Delta f$)
$$ \phi_k(t)=e^{j2\pi f_k t}~~~(0\leq t\leq T_s) $$
수학적 정의에 따라 subcarrier가 직교하려면 두 complex pulse의 내적이 0이 되어야 하고 아래와 같이 나타내어질 수 있습니다. 따라서 subcarrier 사이에 직교성이 성립하려면 subcarrier spacing이 $\Delta f = 1/T_s$를 만족해야 합니다.
$$ \begin{align} <\phi_k,\phi_l>&=\int_0^{T_s} \phi_k(t) \phi_l^*(t)dt=0~~~(k\neq l) \\ &=\int_0^{T_s} e^{j2\pi(k-l)\Delta ft}dt=0~~~(k\neq l) \\ & \therefore~\Delta f = \frac{1}{T_s} \end{align}$$
$N$ 개의 complex symbol $\{X_k\}_{k=0}^{N-1}$를 $N$ 개의 직교하는 subcarrier $\{\phi_k\}_{k=0}^{N-1}$에 실어 하나의 OFDM symbol $x(t)$로 보낸다면 아래와 같은 선형 결합(linear combination)으로 나타낼 수 있습니다. 이때 하나의 OFDM symbol $x(t)$를 전송하는 시간인 $T_s$는 OFDM symbol duration을 의미합니다.
$$ x(t)=X_1\phi_1 + X_2\phi_2 + X_3\phi_3 + \cdots + X_N\phi_N $$
수학적으로 직교성이 성립한다는 것은 선형 결합으로 이루어진 어떤 물리량을 독립 성분으로 decomposition이 가능하다는 뜻입니다. 즉 OFDM은 직교성으로 인해 아무리 subcarrier를 섞어서 하나의 신호를 만들어 전송해도 수신단에서 특정 subcarrier 성분으로 추출해낼 수 있다는 것을 의미합니다.
직교하는 subcarrier $\phi_k$의 실수 부분을 시간 영역과 주파수 영역에서 보면 [그림 3]과 같습니다. 시간 영역에서 보면 각기 다른 주파수의 cosine 신호가 중첩되어 하나의 OFDM waveform을 구성합니다. Subcarrier $\phi_k$는 구간 $[0,T_s]$에서 sinusoidal 신호에 rectanglar pulse가 씌워져 있는 형태이므로 주파수 영역에서는 sinc 함수의 frequency-shift 된 형태가 됩니다. 오른쪽의 주파수 영역 그림에서 보면 각 subcarrier의 중심 주파수에서는 다른 subcarrier 성분들이 0이 되는 것을 알 수 있습니다.
OFDM 시스템과 Block Diagram
직교하는 subcarrier를 이용하여 OFDM 시스템이 어떻게 데이터를 전송하는지 알아보도록 하겠습니다. Time-invariant AWGN 채널을 가정한 이상적인 OFDM 시스템의 송신측 블록은 아래 [그림 4]와 같습니다.
OFDM 송신부
1) S/P (Serial-to-parallel): Serial하게 들어오는 bitstream $s[n]$을 parallel한 형태로 변환시켜줍니다.
2) Modulation mapper: 사용하는 modulation 종류(ex. QPSK)에 따라 bitstream을 I/Q constellation에 맵핑시켜 complex symbol인 $X_k$로 변환시켜줍니다.
3) IFFT (Inverse FFT): 앞에서 OFDM은 $N$ 개의 complex symbol $\{X_k\}_{k=0}^{N-1}$를 $N$ 개의 직교하는 subcarrier $\{\phi_k\}_{k=0}^{N-1}$에 실어 하나의 OFDM symbol로 보낸다고 하였고 이는 선형 결합으로 나타낼 수 있다고 하였습니다. 이를 식으로 표현하면 아래와 같습니다.
$$ x[n]=\frac{1}{\sqrt N}\sum_{k=0}^{N-1} X_ke^{j2\pi kn/T_s} $$
굉장히 익숙한 식이 나오죠? OFDM은 그 정의상 IFFT 자체가 됩니다. $X_k$는 주파수 영역에서 분석한 주파수 성분이 되고, 이를 합쳐 IFFT를 해주면 시간 영역 신호인 $x[n]$가 나오게 됩니다.
4) DAC (Digital-to-analog converter): 디지털 신호를 baseband 아날로그 신호로 변환시켜줍니다.
5) Up-converter: Baseband 신호에서 믹싱을 통해 캐리어 주파수로 up-convert 됩니다. 이때 실수부와 허수부는 위상이 90도 차이 나기 때문에 이를 고려해주며 실수부와 허수부의 RF 신호는 최종적으로 합쳐져서 송신 신호인 $s(t)$로 변환됩니다.
OFDM 수신부
무선 채널을 거쳐 수신되는 신호 $r(t)$는 송신부의 역과정을 통해 [그림 5]와 같이 수신됩니다. 송신부와 유사하게 1) Down-converter → 2) ADC (Analog-to-digital converter) → 3) FFT → 4) Symbol detecter → 5) P/S (Parallel-to-serial) 과정을 통해 bitstream $\hat{s}[n]$을 얻게 됩니다. 중요하게 봐야 하는 것은 수신된 OFDM symbol $y[n]$를 FFT를 통해 complex symbol $Y_k$로 분리해 내는 과정입니다.
앞에서 OFDM은 직교성으로 인해 아무리 subcarrier를 섞어서 하나의 신호를 만들어 전송해도 수신단에서 특정 subcarrier 성분으로 추출해낼 수 있다고 하였습니다. 이상적인 채널을 가정하여 송신한 OFDM symbol이 그대로 수신되어 $y(t)=x(t)$가 성립한다고 가정해보겠습니다. Subcarrier 간 직교성이 성립하기 때문에 수신 신호 $y(t)(=x(t))$에 원하는 subcarrier $\phi_k$ 성분을 내적해주면, 직교하는 다른 성분들은 모두 0으로 제거되고 아래와 같이 $X_k$ 성분만 추출되게 됩니다.
$$ \begin{align} Y_k=<y(t),\phi_k(t)>&=\int_0^{T_s}x(t)\phi_k^*(t)dt \\ &= \int_0^{T_s} \big\{ \sum_{l=0}^{N-1}X_l\phi_l(t) \big\} \phi_k^*(t)dt \\ &=\sum_{l=0}^{N-1}X_l<\phi_k,\phi_l> =X_k \\ &\because~<\phi_k,\phi_l>=0~~~(k\neq l) \end{align} $$
위의 식에서는 이상적인 채널을 가정하였기 때문에 수신단에서는 왜곡 없는 $X_k$를 얻을 수 있습니다. 앞과 동일한 과정을 discrete한 시스템으로 구현하기 위해선 아래와 같이 FFT 과정을 거치게 되고 이를 통해 OFDM은 원하는 성분을 수신단에서 뽑아낼 수 있습니다.
$$ Y_k=\frac{1}{\sqrt N}\sum_{n=0}^{N-1} y[n]e^{-j2\pi kn/T_s} $$
위의 송수신 block diagram은 이상적인 채널 상황은 가정한 OFDM 시스템입니다. 하지만 채널의 multipath fading으로 인한 ISI가 생기는 상황에서는 수신단에서 원 송신 신호를 제대로 복구할 수 없게 됩니다. 따라서 이를 해결하기 위해 cyclic prefix를 사용하게 되는데 이는 다음 포스팅에서 알아보도록 하겠습니다.
References
[1] M. Kottkamp et al., 5G New Radio: Fundamentals, Procedures, Testing Aspects, Rohde & Schwarz, 2018.
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_frequency-division_multiplexing
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